Единая теория всего… в 3D графике? Разбираем алгебру Клиффорда как универсальный язык геометрии

Привет, Хабр! Мы, программисты, инженеры и физики, привыкли к своему зоопарку математических инструментов. Векторы — для направлений и позиций. Матрицы — для трансформаций. Кватернионы — для вращений без головной боли с блокировкой осей. Комплексные числа — для 2D-поворотов и обработки сигналов. Каждый инструмент хорош для своей задачи, но мы постоянно переключаемся между ними, преобразуя данные и жонглируя концепциями. А что, если я скажу вам, что существует единый математический объект, который может быть всем этим одновременно ? Объект, который по своей природе является и скаляром, и вектором, и кватернионом, и даже спинором, в зависимости от того, как на него посмотреть. Это не фантастика. Это — алгебра Клиффорда , также известная как геометрическая алгебра. Идея настолько мощная, что она способна навсегда изменить ваш взгляд на геометрию в 3D. Пристегните ремни. Мы отправляемся в путешествие, где абстрактная алгебра превращается в наглядную геометрию. И огромное спасибо @master_program за переработку исходного текста в эту статью, а так же за дополнения и картинки, очень повысившие удобство чтения. ________________________________________________________________

https://habr.com/ru/articles/962800/

#геометрическая_алгебра #геометрия #алгебра_клиффорда #матрицы_паули #физика #вращения #отражения #комплексные_числа #векторы #кватернионы

Кватернионы — не только то, что мы о них думали. Переход к 3D

Сегодня обобщу конструкцию, из предыдущей одноименной статьи , до трехмерного вида. На этот раз в статье матриц нет, в прошлый раз они потребовались лишь для получения геометрической интерпретации некой базы. Вообще в статье лишь одна формула. Так же отвечу на вопросы к прошлой статье. В сухом остатке их два: "Зачем все это?" и "Почему не обобщал модель до спиноров?". Если ответить совсем кратко - Клиффорд создал, даже спустя 100 лет, очень мало кем понятую супер-теорию геометрии вселенной. Мне вот довелось это осознать. После предыдущей статьи, по всем моим статьям на эту тему прошлись более 1000 человек, поставили 14 плюсов и один минус. Реакцию широкой аудитории, как управленец, буду считать далекой от массового интереса. Но как инженер, для тех, кому все-таки интересно, сначала отвечу на вопросы, а потом разверну модель в трехмерный вид. Сначала я начал было писать еще одну длинную статью, например я там очень удобно закон Гука обобщил. Но потом подумал, что надо писать короткие статьи, чтобы читать было недолго. И написал только основные моменты. Может после прочтения этого материала интерес у широкого круга добавится. В общем соразмерю свои усилия с востребованностью. __________________________________________________________________

https://habr.com/ru/articles/955716/

#геометрическая_алгебра #кватернионы #математическая_физика #комплексные_числа #алгебры_клиффорда #спиноры #3d_графика #инженерные_решения

Краткая история комплексных чисел

Вам это может показаться странным, но были времена, когда отрицательные числа казались людям чем-то неестественным, причём даже тем людям, которые зарабатывали себе на жизнь числами — математикам. Как можно считать числом то, что не имеет физического воплощения? С отрицательными числами в итоге смирились, но уж что точно невозможно было терпеть, так это совсем непонятную величину , квадрат которой , это уже противоречит всякому здравому смыслу. Тем не менее время показало, что законы физики и математики, сформулированные с использованием имеют больший смысл, чем законы, сформулированные без неё. Еще в 19 веке Карл Фридрих Гаусс отметил, что " Если бы вместо того, чтобы называть +1, −1, ​ положительной, отрицательной или мнимой (или даже невозможной) единицей, их назвали бы, скажем, прямой, обратной или боковой единицей, то едва ли можно было бы говорить о какой-либо темноте". В статье хочу рассказать о том, как небольшой математический трюк, придуманный для решения кубических уравнений 500 лет назад, вошёл в фундамент современной науки и инженерии.

https://habr.com/ru/articles/950774/

#комплексные_числа #кватернионы #быстрое_преобразование_фурье #шрёдингер

Почему векторное произведение существует только в R^0, R^1, R^3, R^7?

Чаще всего с векторным произведением мы знакомимся в курсе аналитической геометрии, где мы редко выходим в задачах за размерность три, поэтому может складываться впечатление, что векторное произведение обобщается на любую размерность, по аналогии со скалярным...

https://habr.com/ru/articles/941000/

#векторное_произведение #скалярное_произведение #кватернионы #октонионы

Метафизика мнимой единицы

Прочитав [1], хотя это и не академический материал, очень впечатлился идеей того, что мнимая единица кодирует направление. Дело в том, что если мы имеем в формуле два скаляра, которые запрещено складывать и это - в математике, которая запросто суммирует апельсины с помидорами, происходящее должно нести какой-то смысл . Но математика не кодирует смыслов, поэтому из идеи комплексных чисел мы можем знать лишь то, что смысл в принципе существует. Найти же категориальное различие для такой фундаментальной математической абстракции, как комплексные числа - отдельная большая удача и исследование такой возможности может оказаться перспективным.

https://habr.com/ru/articles/925244/

#комплексные_числа #кватернионы #фазовый_закон #наука_складности

Геометрический смысл комплексного гармонического осциллятора и винты

Аннотация: Исследуется связь комплексных решений уравнения гармонического осциллятора с винтовыми движениями. Показано, что суперпозиция решений с противоположной хиральностью описывает синхронизированные линейные и вращательные колебания в системе "груз-пружина". И что отдельно интересно, это то, что в очередной раз оказалось невероятно удобно работать с нейросетью DeepSeek: 1. Получилось сначала обсудить с ней идею, за пол дня, написав ей подобие промптов, а она в конце написала мне промпт, как для другой нейросети, над чем мне подумать. 2. А следующим днем у меня получилась канва на одну страницу, по которой DeepSeek за 1 минуту создала эту статью.

https://habr.com/ru/articles/916654/

#комплексные_числа #алгебры_клиффорда #кватернионы #геометрия #тфкп

DeepSeek-R1 и обобщённое уравнение плоскости: Как ИИ помог мне переосмыслить геометрическую алгебру

Привет, Хабр! Сегодня расскажу, как нейросеть DeepSeek-R1, несмотря на свои ограничения, помогла вывести обобщённое уравнение плоскости и поверхности второго порядка в геометрической алгебре (GA) через матрицы Паули. Это не просто история про «ИИ vs математика» — это пример симбиоза, где человек направляет, а машина предлагает идеи, которые иначе могли бы остаться незамеченными. Это пример того, как технологии расширяют возможности исследователя, а критическое мышление превращает сырые идеи в строгие математические конструкции. ___________________________________________________________________________

https://habr.com/ru/articles/883746/

#геометрическая_алгебра #матрицы_паули #кватернионы #геометрия