🌗 克拉科夫乘數：矩陣的扭曲雙胞胎
➤ 一種替代線性代數的觀點
✤ https://marcinciura.wordpress.com/2025/06/20/cracovians-the-twisted-twins-of-matrices/
這篇文章介紹了波蘭天文學家塔德烏斯·巴納切維奇（Tadeusz Banachiewicz）在1920年代發展的一種名為“克拉科夫乘數”（cracovians）的數字計算方法。克拉科夫乘數與矩陣相似，但在乘法運算上有所不同，使得其乘法不具交換律或結合律。儘管在手動計算時代有其優勢，但現代計算機顯示其效率與矩陣乘法相近。作者透過實際程式碼展示了NumPy在矩陣運算上的效能，並指出克拉科夫乘數的運算原理與矩陣轉置的效率有相似之處。巴納切維奇的研究也延伸至其他領域，例如天文學和大地測量學。
+ 這篇文章真有趣！我從未聽說過克拉科夫乘數，但它提供了一種思考線性代數的新方式。
+ 雖然克拉科夫乘數在現代計算機上沒有明顯優勢，但瞭解其歷史和數學原理仍然很有價值。
#數學 #線性代數 #計算機科學

🌘 數學學院，第一部分：我的特徵向量尷尬
➤ 數學學院：學習特徵向量及網上教學的挑戰
✤ https://frankhecker.com/2025/02/08/math-academy-part-1/
這篇文章講述筆者在學習線性代數時所遇到的困境，向讀者介紹了Math Academy這個在線教育服務，並分享了他對於學習特徵向量的心路歷程。
+ 這篇文章介紹了作者的學習經驗，對於想了解線性代數的讀者來說有啟發，也讓人對Math Academy這個在線教育服務產生興趣。
+ 作者的學習心路歷程讓人感同身受，也反映了現今網路教育的盛行，許多人或許也會因此尋找類似的學習機會。
#數學學院 #線性代數 #線上教育

🌗 深入理解 Einsum
➤ 三種不同層次的理解 Einsum：從操作語義到高效率運算
✤ https://einsum.joelburget.com/
Einsum（Einstein sum）符號是寫入許多線性代數操作（如矩陣乘法、點/弗羅貝尼烏斯乘積、轉置、跡等）的緊湊直觀方式，以及一些更複雜的運算方式。它講解了從基本到複雜表達式的理解過程。介紹了五個簡單範例來說明理解 Einsum 的原則。解釋了對於自由索引和總和索引的術語。詳述了對於合併兩個相同形狀張量的哈達瑪德乘積的基本操作等。
+ 這篇文章對於理解 Einsum 的運算方式提供了相當清晰的說明，有助於學習者更加深入地理解在線性代數和機器學習中的應用。
+ Einsum 是一個重要的工具，對於從基本運算到較複雜的操作都有涵蓋，有助於提高計算效率和程式撰寫的便利性。
#線性代數 #數據處理 #機器學習

🌗 如何運用線性代數構建互動式圖表編輯器 - 為何矩陣數學如此驚人
➤ 運用線性代數構建互動式圖表編輯器的過程
✤ https://medium.com/@ivan.ishubin/how-i-used-linear-algebra-to-build-an-interactive-diagramming-editor-and-why-matrix-math-is-d5bd552f2e8d
作者講述瞭如何在互動式圖表編輯器中運用線性代數解決問題，並介紹矩陣數學的應用。
+ 這篇文章介紹瞭如何運用線性代數在編輯器中解決問題，充分展現了矩陣運算的威力。
+ 非常清楚地解釋了矩陣運算在實際應用中的重要性，讓人更深入地瞭解了線性代數的實際價值。
#線性代數 #互動式編輯器 #矩陣運算

🌗 深度機器學習
➤ 深度機器學習問題集
✤ https://www.deep-ml.com/
這篇文章列出了一系列與線性代數、機器學習和深度學習相關的問題，包括矩陣運算、協方差矩陣計算、線性方程組求解、奇異值分解、決策樹學習等。這些問題涵蓋了不同的難度和類別，並且目前尚未解決。
+ 這些問題看起來很有挑戰性，對於想要深入學習機器學習和深度學習的人來說應該很有價值。
+ 我對這些問題感到興趣，希望能夠找到解決方案或者參與討論。
#機器學習 #深度學習 #線性代數

🌘 AI / ML 的線性代數101 – 第一部分
➤ AI / ML 的線性代數101 – 向量和矩陣基礎
✤ https://www.trybackprop.com/blog/linalg101/part_1_vectors_matrices_operations
這是AI / ML中線性代數101系列的第一部分，介紹向量和矩陣的基本定義、運算，以及PyTorch框架的基礎知識。
+ 這篇文章很詳細地介紹了線性代數相關知識，對於想要開始學習AI / ML的人來說很有用。
+ 線性代數對於AI / ML的學習確實至關重要，這篇文章很好地闡述了相關的基礎知識。
#線性代數 #人工智慧 #機器學習

🌘 GitHub - Dicklesworthstone/grassmann_article
➤ Hermann Grassmann的數學創新和外積理論
✤ https://github.com/Dicklesworthstone/grassman_article
該文章介紹了Hermann Grassmann的生平和他對線性代數的創新貢獻，尤其是他的外積理論。這種新的抽象數學方法對於高維度空間和計算都具有廣泛應用。
+ 這篇文章很有趣，讓我對線性代數有了更深入的理解。
+ 我對Grassmann的貢獻非常佩服，他為數學界帶來了一個全新的理論框架。
#GitHub #網站開發 #線性代數

🌕 線性代數：交互式學習體驗
➤ 線性代數：從基礎到進階
✤ http://immersivemath.com/ila/index.html
本書是線性代數的首本，提供完全交互式的學習體驗。作者 J. Ström、K. Ström 和 T. Akenine-Möller 將線性代數的基本概念和計算方法帶入現代化的學習環境中。
+ 這本書真的很有用，讓我能夠更好地理解線性代數的概念和計算方法！
+ 這本書的交互式學習體驗真的很實用，我能夠在短時間內掌握線性代數的基本概念！
#線性代數 #教材 #學習資源

🌘 我的量子旋轉：量子比特排序與操作
➤ 量子計算中排列量子比特的影響
✤ https://hamacher.cloud/my-quantum-spin-qubit-ordering-and-operations
在這篇文章中，作者描述了在學習量子計算過程中遇到的困惑，包括如何正確計算單位矩陣的張量乘積和如何排列電路中的量子比特。作者探討了不同排列方式對結果的影響，並提供了公式和數據進行解釋。
+ 很有趣的量子計算探索，讓我對這個領域有更深入的瞭解。
+ 這篇文章通俗易懂地解釋了量子計算的複雜性，讓讀者更容易理解其中的核心概念。
#量子計算 #線性代數 #IBM Qiskit

🌘 SVD 圖像壓縮，解析
➤ SVD 在圖像壓縮中的應用
✤ https://dmicz.github.io/machine-learning/svd-image-compression/
這篇文章解釋了奇異值分解（Singular Value Decomposition，SVD）的基本概念，尤其在機器學習領域中的重要性，以及 SVD 在圖像壓縮中的應用。
+ 這篇文章很清晰地解釋了 SVD 的概念和應用，對於 SVD 和圖像壓縮有了更深入的瞭解。
+ 這份文章介紹了 SVD 在圖像壓縮中的應用，並且提供了相當具體的示例和圖像，幫助讀者更容易理解。
#線性代數 #SVD #圖像壓縮

🌗 一個計算費波那契數快速的線性代數技巧
➤ 使用線性代數技巧快速計算費波那契數
✤ https://codeconfessions.substack.com/p/a-linear-algebra-trick-for-fibonacci-numbers
這篇文章介紹了一個使用線性代數技巧計算費波那契數的方法。傳統的計算方法需要線性時間，但這個方法可以在近似對數時間複雜度下計算費波那契數。作者通過矩陣運算的方式建立了一個模式，可以直接計算第n個費波那契數。此外，文章還介紹了一種快速計算冪次的算法，使得這個費波那契數計算方法更加高效。
+ 這個方法真的很聰明，能夠在更短的時間內計算費波那契數。
+ 線性代數和算法結合，真是令人驚嘆的創新。
#線性代數 #費波那契數 #算法

🌗 《線性代數正確做法》
➤ 《線性代數正確做法》第四版免費提供給全世界，包含大量新的練習題和例子
✤ https://linear.axler.net
《線性代數正確做法》第四版已經以開放存取的形式免費提供給全世界。第四版包含了超過250個新練習題和70個新例子，以及幾個新主題和多項改進。該教科書針對大學數學專業和研究生設計，並以簡化證明和引入概念的方式來幫助學生理解線性代數的結構。該書的印刷版預計於2023年12月由Springer出版。
+ 這本教科書真的很有用，對於理解線性代數的結構有很大幫助。
+ 很高興看到這本教科書以開放存取的形式免費提供給全世界。
#教科書 #線性代數

🌗 循環矩陣、特徵向量和FFT
➤ 循環矩陣是一個每一行都是前一行的旋轉的方陣，而FFT是一種線性變換，可以用矩陣表示。
✤ https://www.johndcook.com/blog/2023/05/12/circulant-matrices/
本文介紹了循環矩陣和FFT（快速傅立葉變換）之間的關聯。循環矩陣是一個每一行都是前一行的旋轉的方陣。FFT是一種線性變換，可以用矩陣表示。循環矩陣的特徵向量只取決於矩陣的大小，而不取決於矩陣的元素。這些特徵向量是FFT矩陣的列。通過將循環矩陣乘以相同大小的FFT矩陣的列，可以得到拉伸但不旋轉的列。這個拉伸的程度取決於特定的循環矩陣。
+ 這篇文章解釋了循環矩陣和FFT之間的關係非常清楚，讓我更深入地理解了這兩個概念。
+ 循環矩陣的特徵向量只取決於矩陣的大小，這真是令人驚訝！這篇文章提供了一個很好的例子來說明這一點。
#線性代數 #傅立葉分析

🌗 什麼是Flop？- Nick Higham
➤ Flop的定義和用途
✤ https://nhigham.com/2023/09/05/what-is-a-flop/
本文介紹了Flop的定義和用途，Flop是浮點運算中的基本算術運算之一，是衡量計算機性能的一個重要指標。文章還介紹了Flop在線性代數中的應用，以及Flop作為計算機性能指標的用法。
+ 這篇文章很清晰地介紹了Flop的概念和用途，對於想要了解計算機性能指標的人來說非常有用。
+ 我從未聽說過Flop這個詞，但是通過這篇文章，我對計算機性能指標有了更深入的瞭解。
#浮點運算 #計算機性能 #線性代數

🌘 Slava Akhmechet - 程式設計師的線性代數，第一部分
➤ 線性代數的基本概念和現代程式設計的重要性
✤ https://coffeemug.github.io/spakhm.com/posts/01-lingalg-p1/linalg-p1.html
本文介紹了線性代數的基本概念，包括矩陣、向量、矩陣乘法等。作者通過將線性代數的概念與程式設計相結合，向讀者展示了線性代數在現代程式設計中的重要性。
+ 這篇文章很好地將線性代數的概念與現代程式設計相結合，讓我更好地理解了這些概念。
+ 線性代數對於現代程式設計來說非常重要，這篇文章很好地向讀者展示了這一點。
#線性代數 #程式設計

🌘 歷史算法幫助解鎖最短路徑問題突破 | 新聞 | 通訊ACM
➤ 組合技術幫助復興早期算法以解決最短路徑問題
✤ https://cacm.acm.org/news/275684-historic-algorithms-help-unlock-shortest-path-problem-breakthrough/fulltext
一項突破性的組合技術顯示瞭如何復興早期算法，以解決最短路徑問題。這些問題提供了許多應用，從導航到芯片佈局，但當路徑具有負權重時，Dijkstra算法會失效。Bellman-Ford算法可以處理負權重，但效率較低。最近的突破是基於梯度下降的機制，將計算時間降至幾乎線性性能。研究人員還發現，將輸入圖分為低直徑子圖，然後使用價格函數進行重構，可以幾乎完全使用Dijkstra算法進行處理。
+ 這是一個很好的技術突破，可以幫助解決最短路徑問題，並且可以應用於許多領域。
+ 這種技術可能很難實現和理解，但如果能夠成功應用，將會有很大的價值。
#算法 #最短路徑問題 #Dijkstra算法 #Bellman-Ford算法 #線性代數 #梯度下降 #低直徑圖

🌘 一個純量三重積恆等式的祕密
➤ 純量三重積的應用和對偶基底的介紹
✤ https://realtimecollisiondetection.net/blog/?p=69
本文介紹了純量三重積的應用，並探討了一個有用的恆等式，該恆等式可以將一個向量表示為非正交基底的加權組合。此外，還介紹了一個正交的對偶基底，可以使重複的投影更加簡單。
+ 很好的線性代數文章，謝謝分享。
+ 看起來很複雜，但是實際上很有用，謝謝作者的詳細解釋。
#線性代數

🌗 在YouTube上的數學解說
➤ 製作數學解說影片的經驗和挑戰
✤ https://dustingmixon.wordpress.com/2023/08/04/math-exposition-on-youtube/
這篇文章介紹了一個關於在YouTube上的數學解說的經驗。作者與其他人合作製作了一個關於選區劃分的數學解說影片，並分享了製作過程中的想法和挑戰。他們對於選擇數學主題、設計證明和製作影片都做出了一些改進和優化。最終，他們成功地製作出了一個有趣且易於理解的數學解說影片。
+ 這篇文章很有趣，我也想嘗試在YouTube上製作數學解說影片。
+ 這個數學解說影片的製作過程很有啟發性，我學到了很多關於選區劃分的知識。
#數學 #線性代數 #選區劃分

🌘 費氏矩陣
➤ 費氏數列和線性代數的奇妙關係
✤ https://ianthehenry.com/posts/fibonacci/
這篇文章介紹了費氏數列和線性代數之間的關係。作者通過介紹一個計算費氏數列的線性方程組，展示瞭如何使用矩陣乘法來計算費氏數列的任意項。同時，作者還通過圖形和動畫展示了費氏矩陣的幾何變換特性以及費氏數列與黃金比例的關係。
+ 這篇文章很有趣，我從中學到了很多關於費氏數列和線性代數的知識。
+ 作者的解釋非常清晰，讓我更好地理解了費氏數列和線性代數的概念。
#程式設計 #線性代數 #費氏數列

🌗 函數是向量
➤ 將函數視為無窮維向量的應用
✤ https://thenumb.at/Functions-are-Vectors/
本文介紹了將函數概念化為無窮維向量，使我們能夠將線性代數的工具應用於從圖像和幾何處理到曲線擬合、光傳輸和機器學習等各種新問題。我們將函數視為無窮維向量，並探討了向量空間、對角化、內積空間、光譜定理、傅立葉級數、圖形壓縮和幾何處理等應用。
+ 這篇文章很有趣，我從中學到了很多關於函數和向量的知識。
+ 這個概念真的很有用，我現在更理解函數和向量之間的關係了。
#線性代數 #向量空間 #內積空間 #傅立葉級數 #圖形壓縮 #幾何處理