Единая теория всего… в 3D графике? Разбираем алгебру Клиффорда как универсальный язык геометрии

Привет, Хабр! Мы, программисты, инженеры и физики, привыкли к своему зоопарку математических инструментов. Векторы — для направлений и позиций. Матрицы — для трансформаций. Кватернионы — для вращений без головной боли с блокировкой осей. Комплексные числа — для 2D-поворотов и обработки сигналов. Каждый инструмент хорош для своей задачи, но мы постоянно переключаемся между ними, преобразуя данные и жонглируя концепциями. А что, если я скажу вам, что существует единый математический объект, который может быть всем этим одновременно ? Объект, который по своей природе является и скаляром, и вектором, и кватернионом, и даже спинором, в зависимости от того, как на него посмотреть. Это не фантастика. Это — алгебра Клиффорда , также известная как геометрическая алгебра. Идея настолько мощная, что она способна навсегда изменить ваш взгляд на геометрию в 3D. Пристегните ремни. Мы отправляемся в путешествие, где абстрактная алгебра превращается в наглядную геометрию. И огромное спасибо @master_program за переработку исходного текста в эту статью, а так же за дополнения и картинки, очень повысившие удобство чтения. ________________________________________________________________

https://habr.com/ru/articles/962800/

#геометрическая_алгебра #геометрия #алгебра_клиффорда #матрицы_паули #физика #вращения #отражения #комплексные_числа #векторы #кватернионы

Давайте забудем всё про скалярное и векторное. Есть способ гораздо лучше

Каждый, кто прошел через курс линейной алгебры или физики в универе, помнит этот странный дуализм. Нас учили, что у векторов есть целых ДВА вида произведения. Первое, скалярное , съедает два вектора и выдает число. Геометрически — это что-то про проекции и углы. Второе, векторное , тоже съедает два вектора и… внезапно выплевывает третий вектор, перпендикулярный первым двум. Причем работает этот фокус только в 3D и 7D. Всегда казалось, что это какой-то математический «костыль». Почему так сложно? Почему два разных продукта для разных задач? Почему один зависит от косинуса, а другой от синуса? Что, если я скажу вам, что это действительно «костыли»? Что существует единое, универсальное и элегантное геометрическое произведение , которое включает в себя оба этих случая (и многое другое), и которое основано на одной-единственной, кристально ясной идее. Идее, которая меняет взгляд на саму суть математики. Эта статья — приглашение в мир Геометрической Алгебры . Мы собираемся переизобрести умножение.

https://habr.com/ru/articles/960192/?utm_source=habrahabr&utm_medium=rss&utm_campaign=960192

#геометрическая_алгебра #геометрия #алгебра_Клиффорда #матрицы_паули #физика #вращения #отражения #отражения_Хаусхолдера

Давайте забудем всё про скалярное и векторное. Есть способ гораздо лучше

Каждый, кто прошел через курс линейной алгебры или физики в универе, помнит этот странный дуализм. Нас учили, что у векторов есть целых ДВА вида произведения. Первое, скалярное , съедает два вектора и выдает число. Геометрически — это что-то про проекции и углы. Второе, векторное , тоже съедает два вектора и… внезапно выплевывает третий вектор, перпендикулярный первым двум. Причем работает этот фокус только в 3D и 7D. Всегда казалось, что это какой-то математический «костыль». Почему так сложно? Почему два разных продукта для разных задач? Почему один зависит от косинуса, а другой от синуса? Что, если я скажу вам, что это действительно «костыли»? Что существует единое, универсальное и элегантное геометрическое произведение , которое включает в себя оба этих случая (и многое другое), и которое основано на одной-единственной, кристально ясной идее. Идее, которая меняет взгляд на саму суть математики. Эта статья — приглашение в мир Геометрической Алгебры . Мы собираемся переизобрести умножение.

https://habr.com/ru/articles/960192/

#геометрическая_алгебра #геометрия #алгебра_Клиффорда #матрицы_паули #физика #вращения #отражения #отражения_Хаусхолдера

Что скрывается за «плюс» и «умножить»? От школьной арифметики до геометрической алгебры

Недавно один из читателей оставил развернутый комментарий к моей статье , в котором очень точно описал чувство растерянности при первом знакомстве с геометрической алгеброй. Он пишет: « Нельзя просто спрятаться за ответом "это формальная сумма", должен быть конкретный оператор "плюс", действующий из в какое-то другое пространство. Но в какое? » Этот вопрос абсолютно закономерен и бьет в самую суть. Путаница возникает из-за того, что новые идеи часто подаются без явного описания той математической структуры, на которой они живут. Давайте построим ее с нуля.

https://habr.com/ru/articles/958666/

#геометрическая_алгебра #алгебра_Клиффорда #уравнения_максвелла #матрицы_паули

Уравнения Максвелла и геометрическая алгебра

Здесь вы можете узнать о том, как все 4 уравнения Максвелла, выражаемые через сложные дифференциальные операторы, можно выразить одним единственным уравнением первого порядка очень простой формы.

https://habr.com/ru/articles/958088/

#Геометрическая_алгебра #физика #алгебра_Клиффорда #уравнения_максвелла #матрицы_паули

DeepSeek-R1 и обобщённое уравнение плоскости: Как ИИ помог мне переосмыслить геометрическую алгебру

Привет, Хабр! Сегодня расскажу, как нейросеть DeepSeek-R1, несмотря на свои ограничения, помогла вывести обобщённое уравнение плоскости и поверхности второго порядка в геометрической алгебре (GA) через матрицы Паули. Это не просто история про «ИИ vs математика» — это пример симбиоза, где человек направляет, а машина предлагает идеи, которые иначе могли бы остаться незамеченными. Это пример того, как технологии расширяют возможности исследователя, а критическое мышление превращает сырые идеи в строгие математические конструкции. ___________________________________________________________________________

https://habr.com/ru/articles/883746/

#геометрическая_алгебра #матрицы_паули #кватернионы #геометрия

Матрицы Паули. Финал

Матрицы Паули. Финал. Это последняя статья на эту тему. Все предыдущие с таким заголовком были тренировочными перед этой, с разным результатом, разумеется. И мне и вам, тема как бы интересна, но прямо скажем - не будем на этом зацикливаться. Спойлеры, что вас ждет в финале: Визуализация действия операторов Паули на векторы в динамике. Концепция объединения линейной алгебры и ТФКП. Простое определение геометрического произведения. Взаимодействие ковекторов и векторов: градиент и оператор Лапласа. Обобщение формулы Муавра на матрицы 2х2 Очень много данных по алгебрам Клиффорда и проективной геометрии в ссылках от моего товарища в конце статьи. Поехали.

https://habr.com/ru/articles/848470/

#алгебры_клиффорда #матрицы_паули #геометрия #алгебра #геометрическая_алгебра