Единая теория всего… в 3D графике? Разбираем алгебру Клиффорда как универсальный язык геометрии

Привет, Хабр! Мы, программисты, инженеры и физики, привыкли к своему зоопарку математических инструментов. Векторы — для направлений и позиций. Матрицы — для трансформаций. Кватернионы — для вращений без головной боли с блокировкой осей. Комплексные числа — для 2D-поворотов и обработки сигналов. Каждый инструмент хорош для своей задачи, но мы постоянно переключаемся между ними, преобразуя данные и жонглируя концепциями. А что, если я скажу вам, что существует единый математический объект, который может быть всем этим одновременно ? Объект, который по своей природе является и скаляром, и вектором, и кватернионом, и даже спинором, в зависимости от того, как на него посмотреть. Это не фантастика. Это — алгебра Клиффорда , также известная как геометрическая алгебра. Идея настолько мощная, что она способна навсегда изменить ваш взгляд на геометрию в 3D. Пристегните ремни. Мы отправляемся в путешествие, где абстрактная алгебра превращается в наглядную геометрию. И огромное спасибо @master_program за переработку исходного текста в эту статью, а так же за дополнения и картинки, очень повысившие удобство чтения. ________________________________________________________________

https://habr.com/ru/articles/962800/

#геометрическая_алгебра #геометрия #алгебра_клиффорда #матрицы_паули #физика #вращения #отражения #комплексные_числа #векторы #кватернионы

Давайте забудем всё про скалярное и векторное. Есть способ гораздо лучше

Каждый, кто прошел через курс линейной алгебры или физики в универе, помнит этот странный дуализм. Нас учили, что у векторов есть целых ДВА вида произведения. Первое, скалярное , съедает два вектора и выдает число. Геометрически — это что-то про проекции и углы. Второе, векторное , тоже съедает два вектора и… внезапно выплевывает третий вектор, перпендикулярный первым двум. Причем работает этот фокус только в 3D и 7D. Всегда казалось, что это какой-то математический «костыль». Почему так сложно? Почему два разных продукта для разных задач? Почему один зависит от косинуса, а другой от синуса? Что, если я скажу вам, что это действительно «костыли»? Что существует единое, универсальное и элегантное геометрическое произведение , которое включает в себя оба этих случая (и многое другое), и которое основано на одной-единственной, кристально ясной идее. Идее, которая меняет взгляд на саму суть математики. Эта статья — приглашение в мир Геометрической Алгебры . Мы собираемся переизобрести умножение.

https://habr.com/ru/articles/960192/?utm_source=habrahabr&utm_medium=rss&utm_campaign=960192

#геометрическая_алгебра #геометрия #алгебра_Клиффорда #матрицы_паули #физика #вращения #отражения #отражения_Хаусхолдера

Давайте забудем всё про скалярное и векторное. Есть способ гораздо лучше

Каждый, кто прошел через курс линейной алгебры или физики в универе, помнит этот странный дуализм. Нас учили, что у векторов есть целых ДВА вида произведения. Первое, скалярное , съедает два вектора и выдает число. Геометрически — это что-то про проекции и углы. Второе, векторное , тоже съедает два вектора и… внезапно выплевывает третий вектор, перпендикулярный первым двум. Причем работает этот фокус только в 3D и 7D. Всегда казалось, что это какой-то математический «костыль». Почему так сложно? Почему два разных продукта для разных задач? Почему один зависит от косинуса, а другой от синуса? Что, если я скажу вам, что это действительно «костыли»? Что существует единое, универсальное и элегантное геометрическое произведение , которое включает в себя оба этих случая (и многое другое), и которое основано на одной-единственной, кристально ясной идее. Идее, которая меняет взгляд на саму суть математики. Эта статья — приглашение в мир Геометрической Алгебры . Мы собираемся переизобрести умножение.

https://habr.com/ru/articles/960192/

#геометрическая_алгебра #геометрия #алгебра_Клиффорда #матрицы_паули #физика #вращения #отражения #отражения_Хаусхолдера

Квантовая механика без магии: пересобираем физику на языке геометрии

Все мы слышали, что квантовую механику «никто не понимает», как однажды заметил Фейнман. Нас с самого начала просят смириться с вещами, которые противоречат интуиции: частицы — это волны вероятности, их состояние описывается загадочными комплексными числами, а ещё у них есть неоткуда взявшийся «спин». А что, если я скажу, что большая часть этой «магии» — не свойство природы, а артефакт математического языка, который мы выбрали для её описания? Что, если существует другой язык, в котором мнимая единица i — это не абстракция, а реальная плоскость, фаза — это обычное вращение, а спин появляется сам собой из базовых принципов геометрии? Я попробовал вывести из математики геометрической алгебры известную нам обычную квантовую механику. Все получилось!

https://habr.com/ru/articles/960034/

#Квантовая_механика #геометрическая_алгебра #Уравнение_Дирака #Уравнение_Паули #Уравнение_Шредингера #спин #поле_Хиггса

Вывод ОТО в геометрической алгебре

В прошлой статье я вывел уравнения Максвелла в пространстве Минковского. Получилось гораздо проще все и короче, чем у Ландау, где куда более сложный вывод растянулся на множество параграфов и делался через принцип наименьшего действия. Но еще большее упрощение всех выкладок получается, если выводить общую теорию относительности. Новое геометрическое уравнение ОТО сразу включает в себя не только уравнения Эйнштейна, но также еще и сразу второе тождество Бьянки из курса дифференциальной геометрии, часто используемое в ОТО. Вот оно: Здесь далее проделан его элементарный вывод.

https://habr.com/ru/articles/959852/

#Геометрическая_алгебра #общая_теория_относительности #уравнение_Эйнштейна #Тождества_Бьянки #Связность #Кривизна #Тензор_Римана #Тензор_Риччи #бивекторы

Об уравнениях Максвелла в пространстве Минковского

В прошлой статье я вывел уравнения Максвелла в 3D, даже не пользуясь никаким пространством Минковского, исключительно в евклидовом пространстве. И они естественным образом в той же форме писались в многомерном евклидовом пространстве. Также рекомендую прочесть соседнюю статью для введения в тему. Любопытно, что их можно ввести аналогично в пространстве Минковского и они будут эквивалентны моим. Также им эквивалентна кватернионная форма, но она является не более чем искусственной подгонкой векторов поля под кватернионы. Покажу теперь естественную формулировку в пространстве Минковского без кватернионов.

https://habr.com/ru/articles/959682/

#геометрическая_алгебра #физика #алгебра_клиффорда #уравнения_максвелла #геометрия_Минковского #пространствовремя

Что скрывается за «плюс» и «умножить»? От школьной арифметики до геометрической алгебры

Недавно один из читателей оставил развернутый комментарий к моей статье , в котором очень точно описал чувство растерянности при первом знакомстве с геометрической алгеброй. Он пишет: « Нельзя просто спрятаться за ответом "это формальная сумма", должен быть конкретный оператор "плюс", действующий из в какое-то другое пространство. Но в какое? » Этот вопрос абсолютно закономерен и бьет в самую суть. Путаница возникает из-за того, что новые идеи часто подаются без явного описания той математической структуры, на которой они живут. Давайте построим ее с нуля.

https://habr.com/ru/articles/958666/

#геометрическая_алгебра #алгебра_Клиффорда #уравнения_максвелла #матрицы_паули

Уравнения Максвелла и геометрическая алгебра

Здесь вы можете узнать о том, как все 4 уравнения Максвелла, выражаемые через сложные дифференциальные операторы, можно выразить одним единственным уравнением первого порядка очень простой формы.

https://habr.com/ru/articles/958088/

#Геометрическая_алгебра #физика #алгебра_Клиффорда #уравнения_максвелла #матрицы_паули

Кватернионы — не только то, что мы о них думали. Переход к 3D

Сегодня обобщу конструкцию, из предыдущей одноименной статьи , до трехмерного вида. На этот раз в статье матриц нет, в прошлый раз они потребовались лишь для получения геометрической интерпретации некой базы. Вообще в статье лишь одна формула. Так же отвечу на вопросы к прошлой статье. В сухом остатке их два: "Зачем все это?" и "Почему не обобщал модель до спиноров?". Если ответить совсем кратко - Клиффорд создал, даже спустя 100 лет, очень мало кем понятую супер-теорию геометрии вселенной. Мне вот довелось это осознать. После предыдущей статьи, по всем моим статьям на эту тему прошлись более 1000 человек, поставили 14 плюсов и один минус. Реакцию широкой аудитории, как управленец, буду считать далекой от массового интереса. Но как инженер, для тех, кому все-таки интересно, сначала отвечу на вопросы, а потом разверну модель в трехмерный вид. Сначала я начал было писать еще одну длинную статью, например я там очень удобно закон Гука обобщил. Но потом подумал, что надо писать короткие статьи, чтобы читать было недолго. И написал только основные моменты. Может после прочтения этого материала интерес у широкого круга добавится. В общем соразмерю свои усилия с востребованностью. __________________________________________________________________

https://habr.com/ru/articles/955716/

#геометрическая_алгебра #кватернионы #математическая_физика #комплексные_числа #алгебры_клиффорда #спиноры #3d_графика #инженерные_решения

Исчисление геометрии Часть 1. Алгебры Клиффорда

Это начало серии статей, дающих достаточно мягкое, но последовательное введение в геометрические алгебры , известные также как алгебры Клиффорда . Её можно считать естественным продолжением цикла «Изобретаем числа» , в котором мы знакомились с разнообразной арифметической экзотикой: двойными, дуальными и гиперболическими числами, а так же с методикой расширения числовых колец и полей всевозможными добавками, мнимыми и не очень. Теперь мы эти добавки смешаем, не взбалтывая так, чтобы получающимися числами можно было моделировать целые геометрии. Предлагаемый цикл я рассматриваю как дополнение к популярным введениям и обзорам геометрической алгебры, хотя оно может быть полезным и как первое знакомство с предметом. Его отличает больший чем обычно акцент на алгебраическую часть, а также следование оригинальному подходу Эрика Ленгэля (Eric Lengyel) к построению геометрических алгебр, который мне представляется наиболее последовательным и логически непротиворечивым.

https://habr.com/ru/articles/776556/

#геометрическая_алгебра #алгебра_клиффорда #haskell #геометрия #алгебра

DeepSeek-R1 и обобщённое уравнение плоскости: Как ИИ помог мне переосмыслить геометрическую алгебру

Привет, Хабр! Сегодня расскажу, как нейросеть DeepSeek-R1, несмотря на свои ограничения, помогла вывести обобщённое уравнение плоскости и поверхности второго порядка в геометрической алгебре (GA) через матрицы Паули. Это не просто история про «ИИ vs математика» — это пример симбиоза, где человек направляет, а машина предлагает идеи, которые иначе могли бы остаться незамеченными. Это пример того, как технологии расширяют возможности исследователя, а критическое мышление превращает сырые идеи в строгие математические конструкции. ___________________________________________________________________________

https://habr.com/ru/articles/883746/

#геометрическая_алгебра #матрицы_паули #кватернионы #геометрия

Матрицы Паули. Финал

Матрицы Паули. Финал. Это последняя статья на эту тему. Все предыдущие с таким заголовком были тренировочными перед этой, с разным результатом, разумеется. И мне и вам, тема как бы интересна, но прямо скажем - не будем на этом зацикливаться. Спойлеры, что вас ждет в финале: Визуализация действия операторов Паули на векторы в динамике. Концепция объединения линейной алгебры и ТФКП. Простое определение геометрического произведения. Взаимодействие ковекторов и векторов: градиент и оператор Лапласа. Обобщение формулы Муавра на матрицы 2х2 Очень много данных по алгебрам Клиффорда и проективной геометрии в ссылках от моего товарища в конце статьи. Поехали.

https://habr.com/ru/articles/848470/

#алгебры_клиффорда #матрицы_паули #геометрия #алгебра #геометрическая_алгебра

Про соотношения между ℝ^2, ℂ и матрицами Паули

Изоморфизм R2, C и матриц Паули. Статья о том, что каждая из матриц Паули это простой геометрический объект - единичный орт системы обычной координат. Без историй про инфиземальные повороты и прочее квантово-механическое и прекрасное. Так же как и в прошлых двух статьях структура статьи такая, сначала рецепт, потом все остальное. Всем искрене желаю приятного чтения и ежедневной простоты мышления, например как в учебнике Клиффорда , который я недавно прочитал (Клиффорд это автор одноименных алгебр, частью которых является алгебра матриц Паули, кто не слышал).

https://habr.com/ru/articles/843358/

#геометрическая_алгебра #прикладная_математика_и_информатика

Девять измерений от Дирака?

Вдогонку к сюжету про матрицы Паули, решил провести параллель с матрицами Дирака , которые состоят из матриц Паули. Статья так же в рамках жанра кейс. В этот раз напишу кратко, просто наблюдаемые математические факты. Так как рецептом в данном случае является принцип, а не формула, то в этот раз под кат убрать нечего. Так же не смогу привести подробно символьные вычисления, потому что промежуточные результаты не входят в страницу даже самым мелким шрифтом. Поэтому привожу только результаты, и поэтому тип статьи "сложно". Теоретически, если развить данную идею, то можно будет в рамках геометрической алгебры построить любое количество измерений. Поэтому делюсь идеей для тех, кого это интересует. Действительно ли конструкция ниже описывает девять измерений, нужно изучать, это пока предположение.

https://habr.com/ru/articles/818839/

#геометрическая_алгебра #прикладная_математика_и_информатика

Матрицы Паули. Просто. Для обычной физики и графики

Давно хотел я написать про матрицы Паули. Но каждый раз, когда я читал очередную чисто научную статью на схожую тему, задавал простой вопрос: "Дружище, ты за что так не любишь людей?". Поэтому во-первых статья в жанре "научно-популярный кейс", во-вторых из изначальной идеи статьи долго исключал все, что возможно, из лишнего и труднопонятного. В-третьих, основной рецепт во введении, на первой же странице. Мне не нравится, когда от букв в глазах рябит, или много не нужного лирического текста, или не очень понятно, где же практически полезный рецепт и линия повествования. Поэтому в основном тексте только суть, а все подробности кейса убраны под кат, для тех читателей, кому нужны подробности, а не простота. Все что ниже, наверное, у кого-то опубликовано, но мне лично не попалось. С одной стороны, к моему сожалению, потому что сэкономил бы полгода своего досуга. С другой стороны, разобраться было увлекательно. Ну и буду рад, если кому знания о таком инструменте окажутся полезными, или хотя бы расширят кругозор.

https://habr.com/ru/articles/813135/

#геометрическая_алгебра #прикладная_математика_и_информатика